对傅里叶变换的理解

前言

本文新手向，虽然不会过多涉及纯概念的东西，但是在基础的傅里叶变换上也没有做太多的公式拓展，希望读者在看这篇文章的时候侧重理解。
说法不严谨的地方恳请指正。

傅里叶变换

傅里叶级数

要引出傅里叶变换，我们先来了解一下一种神奇的级数，它是用频率来表示时域的级数。看不懂没关系，我们来举几个例子。

先来个简单情形

$$f(x) = sin(x)$$

当你看见这个式子，你会毫不犹豫自然得想到一个正弦函数。

在这个基础上再加一个

$$f(x) = sin(x) + \frac{1}{3} sin(3 * x)$$

这样你或许要想像一下了，不过经过短暂的思考，你就看出来这个图形也比较显然，在这里我就不画了。

再来一个……

$$f(x) = sin(x) + \frac{1}{3} sin(3 * x) + \frac{1}{5} sin(5 * x)$$

你会慢慢发现这个函数已经让你有点认不出它正弦的模样了。

毫不吝啬的加无穷个上去

$$f(x) = \sum_{n=2k-1}^{ \infty} \frac{1}{n} sin(n * x).$$

完了，这下真的看不出来了。
不过不要担心，你只是看不出它正弦的模样，看着它的表现形式，你有没有觉得其实这个与$n$有关的式子挺优美的？

x = np.arange(0, 2 * np.pi, 0.01)
y = 0
for n in range(1, 50, 2):
	y += 1 / (np.pi * n) * np.sin(np.pi * n * x)
plt.plot(x, y)
plt.show()

这段代码向我们展示了一个方波，但明明丢进去的是若干个正弦啊。
看到这里你是不是已经恍然大悟了！其实正弦波变方波就是不停地叠加，甚至不止方波可以被分解，我们联想到很多周期性的波都能被分解。

举个栗子

情人节那天你收到了npy发来的几百条录音，你激动地点开每一条去听，发现都只是简单的“哔～”，只是音调有低有高。为此你抱怨该直男如此无聊，而他却说你使用方法有问题。他把这几百条语音同时播放，但是每一个的音量却调的不一样，有的声音大有的小，当所有声音一起播放，你竟然听到了循环的“我爱你我爱你我爱你～”（准确来说是没法改变的音色和说话的韵母等因素的，所以最多只有这句话的音调吧）！
这个例子旨在解释，周期信号可以被分解成无穷的级数这件事情。

傅里叶级数的形式

以下有较多数学推导，应该在一定程度上可以帮助理解这种级数的本质，觉得枯燥不愿意看的可以直接跳过啦～

三角形式

根据我们刚才的想法，我们认为一个信号可以被分解成这样的形式

$$f(t) = \frac{A_{0} }{2} + \sum_{n=1}^{\infty} A_{n} cos(n \omega_{0} t) + B_{n} sin(n \omega_{0} t).$$

现在我们求解一下这个式子中的各项参数。

$$\int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) cos(n \omega_{0} t) dt$$ $$= \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } A_{n} cos^{2}(n \omega_{0} t) dt$$ $$+ \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } \sum_{k \neq n} A_{k} cos(k \omega_{0} t) cos(n \omega_{0} t) dt$$ $$+ \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } \sum_{k} B_{k} sin(k \omega_{0} t) cos(n \omega_{0} t) dt.$$

这个式子看起来非常吓人，不过不要害怕。
我们惊喜的发现，这个和式中的后两项积分都是0！是的，你没看错。
其实这个性质很容易被忽略，你一定很久以前就知道，不同频率的电压和电流在一个周期内的功之和是0，所以当电压和电流周期不同，它们产生的功率是零（请记住这个性质，因为它可以用来证明帕斯瓦尔定理，在未来频域功率与能量的分析中将会有很大作用）。证明非常容易，积分带进去算一下就好了。
于是很快$A_{n}$就能被计算出来，同理计算出$B_{n}$，

$$A_{n} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) cos(n \omega_{0} t) dt.$$ $$B_{n} = \frac{2}{T} \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) sin(n \omega_{0} t) dt.$$

指数形式

既然有了三角形式，我们不妨将它用指数再写一下，把正弦和余弦统一起来（并不是为了迎合傅里叶变换）。
欧拉公式人尽皆知，它不是我这篇文章的主角。
现在这样表示

$$A_{n} = \frac{1}{T} \int_{ -\frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) e^{-jn \omega_{0} t}$$ $$f(t) = \sum_{n= -\infty }^{ \infty} A_{n} e^{jn \omega_{0} t}.$$

这样表示为什么是对的呢？
其实我们之所以能用不同频率的正弦和余弦表示，是因为他们的正交性。
这里不扯什么完备正交集之类的概念了，就像我们熟知的XY坐标系，我们从X上随便选一个点，Y上随便选一个点，都会对应二维平面上一个点，XY如此，$sin$和$cos$如此，虚数的实部和虚部亦如此，因此我们可以方便的将它们一一对应。

傅里叶变换

我们要进入正题了——傅里叶变换。
通过以上对傅里叶级数的讨论，我们知道了不同的频率的正弦波可以组合成各种各样的周期波，只有你想不到，没有做不到。
真的没有做不到吗？
还真有！给你一个非周期的函数，你去分解一下试试。
首先，这个周期$T$你就没有办法带进去。
当傅里叶同学被打了脸，他觉得很没面子，自己的级数竟然只能分解周期信号，他哪能咽下这口气，一气之下，他大喊一声，“我不管！就算让周期等于无穷，他也得是个周期信号！继续分解！”

傅里叶变换的形式

傅里叶同学自幼习武，力大无穷，旁边的同学根本拦不住他做这种“非周期信号是周期无穷”这种“丧尽天良”的事情。

$$F(n \omega_{0} ) = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) e^{-jn \omega_{0}t } dt$$ $$T F(n \omega_{0} ) = \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) e^{-jn \omega_{0}t } dt$$ $$\frac{2 \pi}{ \omega_{0} } F(n \omega_{0} ) = \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) e^{-jn \omega_{0}t } dt$$ $$F( \omega) = \int_{- \frac{T}{2} }^{ \frac{T}{2} } f(t) e^{-j \omega t } dt$$ $$F( \omega) = \int_{- \infty}^{ \infty } f(t) e^{-j \omega t } dt$$ $$f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty }^{ \infty } F( \omega) e^{j \omega t} d \omega$$

或许你没看懂他干了什么，别急，我们慢慢分析一波。

傅里叶变换与傅里叶级数的关系

之前提到，傅里叶之所以能把非周期信号分解，关键在于他霸道的让周期等于无穷，或许你表示不服，但是先别着急，往下看，你会觉得这样并不是没有道理。
相比之前，我们做了一个极不人道的操作，

$$lim_{T -> \infty } F( \omega)$$

并且我们考虑新的“级数”的含义，这个级数$F( \omega)$不再表示$\omega$处的大小是多少。
因为如果我们定义$\omega$处的幅值，我们会发现，作为$F(\omega)$的和，$f(t)$将非常大，这是周期趋近无穷导致的。
当周期越来越大，我们原本的傅里叶级数会越加越多，就好像在上面那个小故事中，如果想得到一句“我爱你”，可能你的npy要录无穷多的音频（可见一句用心的情话比不停重复更来之不易）。
所以说，我们定义的“级数”意义必须要变。
傅里叶同学说，你这玩意儿是连续的，还绝对可和，我用$F(\omega)$表示$\omega$附近的频谱密度，而非一个点处的大小。$F(\omega)$越大，表示这个地方的频谱分量越密集，频谱越丰富，“你从里面单单挑出一个点问我它对$f(t)$的贡献是多少？不好意思，没贡献”，傅里叶同学说，“这就好比你给我一沓纸，问我其中一张厚度是多少。”
好的，我们现在再整理一下思路，傅里叶变换从傅里叶级数完成华丽蜕变，经过了下面的过程：
周期趋近于无穷，一个非周期信号我们也可以作为周期信号处理。
由于$\omega$附近频谱线特别多，用具体一个点来解释频谱能量并不科学，于是改用一个新的变量——频谱密度$F(\omega)$来诠释，科学一点来说 $F(\omega) = \frac{1}{\Delta \omega} \int_{\omega}^{ \omega + \Delta \omega} A_{w} dw$
至于这个$\Delta \omega$等于多少，我们马上就会看到。

回顾之前我们学的如何计算三角形式的傅里叶级数，很容易想到用同样的方法去表示傅里叶变换的$F(\omega)$。实际上我们距离傅里叶同学在纸上写的式子还有一个常数的差距，在他的算式中，上述内容还不是完全正确，我们还要再乘上一个$\frac{1}{2 \pi}$。万事大吉！来看看我们接下来可以得到的东西。

$$f(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{- \infty}^{\infty} F( \omega) e^{j \omega t} dt .$$ $$\int_{- \infty}^{\infty} f(t) cos( \omega t) dt = \frac{1}{2 \pi} \int_{ - \infty}^{ \infty} (F(- \omega) cos^{2} (\omega t) \Delta \omega + F( \omega) cos^2(\omega t) \Delta \omega) dt .$$

解释一下这个式子，你是否还记得我们刚才怎么计算的$A_{n}, B_{n}$（不记得的话翻上去看看），利用了不同频率的信号在一个周期的积分是0对吧。这里我们也利用了这个性质，其中$F(\omega) \Delta \omega$就是在频率$\omega$附近的贡献。
同时这里面有一位仁兄好像有些面熟？啊！$\Delta \omega$，就是你，别躲了，刚才就看你不顺眼，今天咱俩坐下来好好唠唠。
这货在这个地方出现有啥用？它只是一小段频段啊？好像……是$\omega$的小弟？在这个地方他竟然没有被那个神奇的性质消掉，而在一个周期的积分中与$cos(\omega t)$ 共存了，只能说，它必然是深得大哥$\omega$的喜爱，$\omega + \Delta \omega$紧跟$\omega$的步伐，至于跟的有多近呢？大哥说：“我们的差距$\Delta \omega$甚至也就是一个最小的基频$\omega_{0}(= \frac{2 \pi}{T})$的大小哦。”
原来如此，这一小段里的频率都可以近似成$\omega$，那就直接去参与$\omega$的贡献嘛。
同时我们刚才在$\omega$一点处的频谱是没有意义的这个猜想，是不是也得以证实了呢？不得不感慨傅里叶同学（以及发扬光大傅里叶变换的同胞们）的智慧。

继续算这个式子

$$\int_{-\infty}^{\infty} f(t) cos(\omega t) dt = \frac{1}{2 \pi} (F(\omega) + F(- \omega )) \int_{- \infty}^{\infty} dt \Delta \omega$$ $$= \frac{1}{2 \pi} (F(\omega) + F(- \omega)) T \Delta \omega .$$

同理可以计算出正弦部分，综合两部分变成复数后，我们就得到了一个漂浪的柿子

$$\frac{1}{2 \pi} F(\omega) T \Delta \omega = \int_{- \infty}^{ \infty} f(t) e^{-j \omega t} dt .$$

把前面化简就是傅里叶变换的式子没错了，但我为什么没有化简呢，当然是为了和傅里叶级数作对比（呼应一下本段标题），别忘记$T= \infty$

$$(\frac{1}{2 \pi} F(\omega) \Delta \omega) = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} } f(t) e^{-j \omega t} dt.$$

傅里叶级数：

$$F_{k} = \frac{1}{T} \int_{- \frac{T}{2} }^{\frac{T}{2} }f(t) e^{-jk\omega_{0} t} dt.$$

看着这两个式子是不是觉得他们十分的相似呢～